Формулы Грина — Кубо

Формулы Грина — Кубо или соотношения Грина — Кубо связывают кинетические коэффициенты (коэффициенты переноса) линейных диссипативных процессов с временны́ми корреляционными функциями соответствующих потоков.

Названы по именам Мелвилла Грина, установившем их в 1952—1954 годах на основе теории марковских процессов, и Риого Кубо, установившем их в 1957 году с помощью теории реакции статистической системы на внешние возмущения.

Иногда формулы Грина — Кубо называют формулами Кубо. При этом существуют отдельные формулы Кубо, являющиеся частным случаем формул Грина — Кубо.

Формулы Грина — Кубо применимы к газам, жидкостям и твёрдым телам как для классически, так и для квантовых систем. Они являются одним из наиболее важных результатов статистической теории необратимых процессов.

Коэффициент самодиффузии

Коэффициент самодиффузии [math]\displaystyle{ D }[/math] выражается через интеграл корреляционной функции проекции скорости (импульса) частицы:

[math]\displaystyle{ D = \lim_{\varepsilon \to +0} m_1^{-2} \int\limits_0^\infty e^{-\varepsilon \tau} \langle p_1^x(0) p_1^x(\tau) \rangle \,\mathrm{d}\tau, }[/math]

где [math]\displaystyle{ p_i }[/math] — импульс частицы (номер 1), верхний индекс [math]\displaystyle{ x }[/math] означает [math]\displaystyle{ x }[/math]-компоненту вектора, [math]\displaystyle{ \tau }[/math] — время. Угловые скобки означают усреднение по равновесному распределению Гиббса. В классическом случае формула упрощается:

[math]\displaystyle{ D = \int\limits_0^\infty \langle v_1^x(0) v_1^x(\tau) \rangle \,\mathrm{d}\tau. }[/math]

Коэффициент теплопроводности

[math]\displaystyle{ \lambda = \lim_{\varepsilon \to +0} \lim_{V \to \infty} \frac{1}{V \, k_B T} \int\limits_0^\infty e^{-\varepsilon \tau} \langle J_Q^x(0) J_Q^x(\tau) \rangle \,\mathrm{d}\tau, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] — коэффициент теплопроводности, [math]\displaystyle{ V }[/math] — объём, [math]\displaystyle{ T }[/math] — температура, [math]\displaystyle{ k_B }[/math] — постоянная Больцмана, [math]\displaystyle{ J_Q^x }[/math] — [math]\displaystyle{ x }[/math]-компонента потока тепла.

Коэффициент сдвиговой вязкости

[math]\displaystyle{ \eta = \lim_{\varepsilon \to +0} \lim_{V \to \infty} \frac{1}{V \, k_B T} \int\limits_0^\infty e^{-\varepsilon \tau} \langle \pi^{xy}(0) \pi^{xy}(\tau) \rangle \,\mathrm{d}\tau, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \eta }[/math] — коэффициент сдвиговой вязкости, [math]\displaystyle{ \pi^{xy} }[/math] — компоненты тензора потока полного импульса.

Коэффициент объёмной вязкости

[math]\displaystyle{ \zeta = \lim_{\varepsilon \to +0} \lim_{V \to \infty} \frac{1}{V \, k_B T} \int\limits_0^\infty e^{-\varepsilon \tau} \langle (1 - \mathcal{P}) \pi^{xx}(0) \pi^{xx}(\tau) \rangle \,\mathrm{d}\tau, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] — коэффициент объёмной вязкости, оператор

[math]\displaystyle{ \mathcal{P} \pi^{xx} = \langle \pi^{xx} \rangle + \big(H - \langle H \rangle\big) \frac{\partial \langle \pi^{xx} \rangle}{\partial \langle H \rangle} + \big(N - \langle N \rangle\big) \frac{\partial \langle \pi^{xx} \rangle}{\partial \langle N \rangle}, }[/math]

[math]\displaystyle{ H }[/math] — гамильтониан системы, [math]\displaystyle{ N }[/math] — полное число частиц.

См. также

• Матрица плотности
• Уравнение Линдблада

Литература

• M. S. Green, Markoff Random Processes and the Statistical Mechanics of Time-Dependent Phenomena. II. Irreversible Processes in Fluids, J. Chem. Phys 22 (1954), p. 398—413.

• R. Kubo, Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes. I. General Theory and Simple Applications to Magnetic and Conduction Problems, J. Phys. Soc. Jpn. 12 (1957), p. 570—586.

• Физическая энциклопедия / Прохоров А. М. (ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1992. — 672 с. — ISBN 5-85270-034-7.